夏休み きょうの1題  (819)  解 答 
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大阪星光学院高校 ( H30年 【1】 ) ★★★
 1    1    3    1    3    5    7    1 ,… と分数が規則的に並んでいる。
 2  4  4  8  8  8  8 16
   1 は[  ]番目の分数であり,100番目の分数は[  ]である。
  64

【解】群に区切ってみて,項数に注目

それぞれの群の項数は,1個,2個,4個,…で,第n群(分母が2n)の項数は2n-1
 1  1 より,第6群の1番目
64 26

よって第1群〜第5群の項の総数は,1+2+4+8+16=31個で,32番目

また,100=(1+2+4+8+16+32)+37より,第7群(分母は27=128)の37番目で,  37
128
【類題】中央大付属高校 ( H28年 【4】 )

ある規則に従い,次のように数を並べる。

1,1,2,3,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,6,7,1,2,…

 参考 (例) 1+3+5=32, 1+3+5+7=42, 1+3+5+7+9=52

(1) 最初から数えて,2016番目の数を求めなさい。

【解】群に区切ってみて,項数に注目

それぞれの群の項数は,1個,3個,5個,7個, … だから,

  (例)より,第n群の最後の数までで,1+3+5+…+(2n−1)=n2

2016=442+80だから,2016番目の数は,第45群の80番目  よって,80

(2) 最初の数から2016番目の数までに,28は何個あるか,求めなさい。

【解】第何群から28が登場するか

各群の最後は奇数だから,最後が29の群を探すと,

   2n−1=29より,n=15で,28は第15群から登場する。

結局28があるのは,第15〜45群  よって,45−14=31個

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